A világhírű Gömböc

Beszélgetés Domokos Gábor egyetemi tanárral

A Budapesti Műszaki Egyetem morfológiai és geometriai modellezés tanszékének tanára Várkonyi Péterrel közösen jegyzi a Rubik-kocka utáni korszak legérdekesebb talányának megfejtését. A Gömböc egyik atyjáról van szó. A térforma, melynek egyetlen stabil és egy instabil pontja van – sokáig nem gondolták, hogy létezhet ilyen – kezdi meghódítani a világot. Voltaképpen mi a Gömböc?

A Gömböc matematikai találmány, egy olyan geometriai test, amit ha leteszünk egy asztalra, teljesen úgy viselkedik, akár a Keljfeljancsi, mindig visszaáll ugyanoda. Viszont nincs benne nehezék, mint a Keljfeljancsiban. Van egy másik fő tulajdonsága. A ceruzát például a ceruza csúcsán tudjuk egyensúlyozni. A Gömböcnek is egyetlen ilyen pontja van, pont szemben a stabil helyzetével. Összesen tehát egy stabil és egy instabil pontja van. Sokáig azt sejtették, hogy nincs ilyen.

Itt van például előttem egy vizespohár…Leteszem, nem borul föl, megmarad benne a víz.

Ez a stabil helyzete. A dobókockának például hat stabil pontja van. Ha nincs cinkelve, egyforma eséllyel fordul valamelyik oldalára. Van nyolc csúcsa, ezek az instabil pontjai. A Gömböcé egy és egy.

A mintapéldány Gömböc mikor és miből készült?

Az első fizikailag legyártott Gömböc 2006-ban készült háromdimenziós nyomtatással a gipszre emlékeztető anyagból. Nem volt túl precíz alkotás. Amikor magánzsebből megcsináltattuk, elmentünk a gyártóhoz kipróbálni. Elkészülte után megforgatták gyantában, ami azt jelenti, hogy alulra egy kicsivel több jutott. Ez tehát valójában egy nem jól működő Gömböc volt, amibe tőkesúly került. Viszont működött, beállt az egy adott pontra. Ha nem működik, valószínűleg feladjuk. De folytattuk, és egyre jobb minőségű anyagokat használtunk.

Mekkora volt az ős Gömböc?

Arasznyi. A mostaniak közül vannak olyanok, amelyek kisebbek, és vannak jóval nagyobbak is. Ma már könnyen megfelelünk az alapfeltételnek is: ugyanolyan, egyféle anyagból kell lennie. A legnagyobb, amit eddig meg tudtak csinálni, 30 centi magas.

Homogén anyagból kell lennie. Fából akkor ezek szerint nem készülhet.

Nem, mert a fában szálirány meg görcs is van. Ipari felhasználású fémekből lehet gyártani, az acél, az alumínium, a titán jöhet szóba. Nemesfémből azért nehéz készíteni, mert az aranyat például öntik, és az öntvényben buborékok keletkeznek. Akkor már nem homogén az anyag, nem lehet belőle Gömböcöt csinálni. Az ezüstgömböcöt röntgennel kellett megvizsgálni, hogy homogén anyagból van-e, utána marni kellett, ami az ezüst puhasága miatt rendkívül nehéz, a végén a verdejegyet is bele kellett tenni, ami az ezüst tisztaságára utaló szám, a 999 volt. Mellesleg a windsori kastélyban van kiállítva.

A Rubik-kocka játék volt, s voltaképpen az ma is. De a Gömböcről a világ ismert tudományos folyóiratai – a Nature, a Science – számoltak be, és tudományos eredményként tekintenek rá. Mi benne a tudomány?

Az, hogy létezhet a Gömböc, ha azt vesszük, tisztán matematikai kérdés, melynek felvetése Vlagyimir Arnoldtól, az ukrán származású orosz matematikustól származik. Úgy is meg lehetett volna válaszolni, hogy valaki talál a természetben egy ilyen alakú kavicsot. Érdekes, de a Gömböc tudományos különlegessége ma már nem is matematikai természetű. Sok mindent megmagyaráz a természettudományban. Arnold is úgy látta, ennek a testnek a jelentősége nem a matematikán belül lesz fontos, hanem azon kívül, például a geológiában vagy a biológiában. A térbeli testekről nehezen tudunk beszélni. Nincs ugyanis nevük. A Gömböccel nevet adtunk egy tárgynak, a ’kettesnek’, amivel utalunk az egy stabil és az egy instabil egyensúlyi pontra. A Gömböc létezése elindított egy gondolkodási folyamatot.

Arnold kapta az első Gömböcöt. Hová került a második?

Nincs tulajdonosa, még itthon van. Kulturális misszióként elkezdtünk ugyanis számozott Gömböcöket gyártani. Ami bajos, mert ha számozzuk, megváltozik az anyag összetétele. Minden számozott Gömböc küzdelem. Egy szponzor segített végül, úgyhogy most több mint 50 helyen van egy-egy Gömböc kiállítva. Magyaroroszágon is van néhány. Egy a tudományos akadémián, a Nemzeti Bankban és a Nemzeti Múzeumban is látható, benne az alapítási évszámmal. A müncheni Deutsches Múzeumban van kiállítva a 2021-es Gömböc.

Mi a neve külföldön?

Mondok egy meglepőt: Gömböc. Minden nyelven másképp ejtik ki. Angolul ’gambak’. Kínaiul ’gombuci’. A Gömböc megszületése után hatalmas volt a sajtóérdeklődés. Ilyen az én kis életemben még nem történt. Egy idő múlva szóltak a barátaim, hogy védeni vagy szabadalmaztatni kellene, találjunk ki neki valami frappáns nevet, mert a Gömböc túlságosan magyar, kiejthetetlen. Gondolkoztunk Péterrel, kitaláltunk szellemes neveket, de mire léptünk volna, a kínai Wikipédián már ott volt a Gömböc név. És akkor úgy gondoltuk, abbahagyjuk a névadási kísérletet. Ennek köszönhetően a magyar név most bejárhatja a világot.

A Gömböc megindított egy más típusú gondolkodást a térbeli formákról. Ez volna az igazi jelentősége?

Abban segít, hogy lehet egzakt módon is beszélni a testekről. Ha most önt megkérném, hogy nevezzen meg térbeli testeket, mit mondana?

A futball-labdára gondolok…

Remek. Azaz a gömbre. Van még a henger, a kúp, és a többi. Nincs olyan nagyon sok. A vízparton hány különféle kavicsot látunk? Sokat. De hát ezeknek nincs nevük. Amíg valaminek az ember nem tud nevet adni, nem értjük. A névadás tehát alapvető. Ha fölfedeznek egy szigetet, az első, hogy nevet adnak neki. Úgy is lehet, hogy minden kavicsra ráírjuk, Móricka vagy Pistike. A Gömböcről, a térformáról is csak akkor lehetett beszélni, amikor már volt neve.

Hogyan sikerült egykor találkozni Vlagyimir Arnolddal, a híres matematikussal? Hogyan sikerült megközelíteni?

Kétszer találkoztam vele, először 1995-ben. Kezdő műegyetemi kutatóként Németországban voltam alkalmazott matematikai konferencián, több ezren vettek rajta részt. Azért mentem, mert Arnold tartotta a bevezető előadást, élőben akartam látni és hallani. Kaptam egy ösztöndíjat a németektől, hatvan márka ütötte a markomat. Kimentem, beültem az első sorba, megtartotta Arnold az előadást, amiből keveset értettem. Azt mondjuk megértettem, amikor azt mondta, hogy valami nagyobb vagy egyenlő, mint négy. A végén rájöttem, az általa körüljárt matematikai kérdés egyik lehetséges olvasata, hogy hány egyensúlyi helyzete lehet egy testnek. Megpróbáltam odajutni hozzá, nem sikerült. Viszont amikor kifelé mentem a teremből, láttam, hogy ha 30 márkát fizetek, akkor egy általam választott hírességgel leülhetek egy asztalnál a következő ebédnél. Egyszer élek, gondoltam, az élelmiszeradagomat a héten két hamburgerről egyre redukálom, és fizettem. Odaültettek Arnoldhoz, de tizenöten voltunk az asztalnál. Megjött Arnold, elkezdett enni, a tányér fölött mindig megjelent egy cikk, amit valaki elétolt. A végén megkérdezte tőlem, hogy neked milyen eredményed van. Mondtam, hogy semmi. Ő pedig elment. A konferencia végén indultunk haza, állt a lobbiban, egy kínaival beszélgetett, szemmel láthatóan próbálta lerázni. Azzal mentette ki magát, hogy rám mutatott: ezzel az úrral van megbeszélésem. Mondta, tudom, hogy magyar vagy, és befizettél 30 márkát, neked tehát valami nagyon súlyos okod lehetett a velem való találkozásra, tizenöt perc múlva megy a vonatom, mondd el, miért ültél oda hozzám. A testekről beszélgettünk. Mindenki azt hiszi, mondta, hogy a síkbeli egyensúlyi helyzethez hasonlóan a térbeli testeknek is legalább négy egyensúlyi pontjuk van, és mindenki tőlem várja, hogy ezt bizonyítsam. Kérdeztem, van-e olyan test, amelynek kevesebb egyensúlyi pontja van, mint négy. Neked megmondom, hogy szerintem létezhetilyen. Ha megtaláltad, hívj föl, most rohanok, megy a vonatom.

Végül megtalálta, pontosabban megtalálták.

Eltelt közben tíz év. Tény, hogy elhittem, amit Arnold mondott. Pedig a kérdés valószínűtlen volt. A tíz év azzal telt, hogy megpróbáltam elképzelni: mi lenne, ha volna ilyen test? Rájöttem, hogy Arnold miért hitte, hogy van ilyen test. Ellátott a dolgok fölött. Úgy volt vele, ha van ilyen, az sok mindent a helyére fog tenni. A feleségemmel Rodosz szigetén gyűjtögettük a kavicsokat. Az volt a célkitűzés, hogy öt napon keresztül, minden este  négyszáz kavicsot megvizsgálunk. Vittem haza a pakkot a hátizsákomban. Én ugyan1200-nál fel akartam adni, de feleségem ragaszkodott az eredetileg kitűzött mennyiséghez.  Nem találtunk olyat, ami megfelelt volna a keresési feltételnek. Hazafelé jövet a repülőn átvillant az agyamon, lehet, hogy tévedett Arnold. Mert ha az ember megnéz kétezer kavicsot, és nincs közte Gömböc, kialakul az az érzése, hogy úgyse talál olyat, aminek egy stabil és egy instabil pontja van. A tojás alakú eleve nem jó, mert annak millió ilyen pontja van. Később bekapcsolódott a munkába Várkonyi Péter, aki nálam doktorált, előzőleg matek-fizika versenyeken trenírozta magát. Volt egy másik szupertanítványom is, Sipos András. Egyszer elmentünk kirándulni, és beszélgettünk az Arnold-sejtésről. Pénzt dobtunk fel, és abban állapodtunk meg, egyikük azt vizsgálja, hogy nincs ilyen test, a másikuk pedig azt: mi van, ha létezik. Készült egy matematikai konstrukció, egy gömbhöz nagyon közeli test. Ezzel a konstrukcióval matematikailag igazoltuk, hogy létezik ilyen test, de ezt a formát nem lehetett megcsinálni. Közöltük azt a cikket, de utána még másfél évig küzdöttünk azzal, hogyan lehetne megvalósítani – mert ne felejtsük, hogy eredetileg mégiscsak mérnökök vagyunk. Nem a most ismert Gömböcre készült a bizonyítás. De az új forma sokat számított, mert addig, amíg valami pusztán matematikai eredmény, senki sem érti, ám amikor már kézbe lehet venni, látni és játszani lehet vele, egészen más a helyzet. Valójában ez a Gömböc értelme: elviszi az emberekhez a matematikát.  

Előfordult-e már az, hogy valakit a Gömböc érzelmileg érintett meg?

Hogyne. Kínában azért lett sikeres, mert valamiféle térbeli Jin-Jangnak gondolják. Egyszer levelet kaptam egy pszichológustól Ausztráliából, arról értesített, hogy kézbe vette a Gömböcöt, nem csinált vele semmit, de kiterjesztett tudatállapotba került tőle. Sok művészt is megérintett. Született egész estés táncelőadás Gömböc címmel, regényben és tévésorozatban is szerepel, festőknél, szobrászoknál is felbukkan, mint ihlető motívum, de láttam A-kategóriás londoni galériában ún. conceptual art-műveken is.

A Gömböc közben eljutott a NASA-ba is, ami azért nem semmi.

A NASA egy rangos kutatójával írtunk közösen egy cikket, melynek az volt a témája, hogy a Marsról főleg fotóink vannak, és ezek alapján szeretnénk a víz és az élet jeleit megtalálni a vörös bolygón. A Marsjáró nem sokkal a leszállás után olyan képet küldött, amelyen lekerekített kavicsok láthatók. S a NASA-nak nem az volt a kérdése, hogy hány éves a kapitány, hanem hogy milyen hosszú volt az a folyó, ami ezeket a kavicsokat szállította. Ez csak első hallásra tűnik furcsa kérdésnek. A formák fejlődéséről folytatott dialógus képessé tehet bennünket arra, hogy ha megnézünk egy kavicsot, megmondjuk a formája alapján, hogy eredetileg mekkora volt.

De hát azt nem tudjuk, hogy mennyi időn át mosta a víz.

Mindent tudunk. Amikor a kavics megszületik, olyan, mint a zúzott kő, valami széttöredezik. Az állítás az, hogy ha most megnézek egy kavicsot, meg tudom mondani, hogy mekkora volt az a kődarab, ami egykor elkezdett lekopni. Hogy pontosan mennyi idő telt el, azt valóban nem tudjuk. De azt igen, hogy a tömege hányadrészét vesztette el a kopás alatt. Ha egy geofizikai programba betápláljuk azt, hogy milyen a Marson a lejtés, mekkora a gravitáció, milyen a kőzet összetétele, akkor a folyó hosszát is meg tudjuk mondani. A folyó hossza azért érdekes, mert a műholdak adatai és a mi elgondolásunk egyezett, erről írtuk a cikket, ez volt a belépőnk. Bekerültünk aztán külső szakértőként a NASA Marskutató-programjába, a repedésmintázatok vizsgálata lett a feladatunk.

Nemrég elhaladt a Föld mellett egy aszteroida, melynek rendkívül furcsa alakja és mérete volt. Erről is közöltek cikket a Science-ben. Az aszteroida úgy nézett ki, akár egy hosszú szivar, 400 méter hosszú volt. Megmozdítja az ember fantáziáját az, hogy egy ilyen test hogyan mozog a világűrben. Hogy nem esik szét közben?

Minket is ez izgatott, ez a szivar alak. Ez volt az első olyan test, amely a csillagközi térből érkezett, és az emberiség meg tudta figyelni. A neve az, hogy UAMUAMUA, merthogy Hawai-on észlelték. Amint belépett a Naprendszerbe, óriási érdeklődés övezte. A világ egyik legismertebb asztrofizikusa, Avi Loeb azonnal megjegyezte: ez valószínűleg űrhajó. Több cikket is írt erről.

Az volt?

Nem tudjuk. Az aszteroida olyan test volt, mint egy ceruza, két instabil helyzete volt. Ha a Földön van ilyen, eltörik. Az aszteroida 500 millió évig ment egyenes vonalban, mire eljutott a Naprendszerbe, ezalatt egészen apró meteoritokkal ütközött, azok koptatták. A cikkünk arról szólt, hogy ha semmi nem szól közbe, nagyon hosszúkás testek is keletkezhetnek egy ilyen folyamatban, amennyiben elkerülik a nagyobb ütközéseket. Nem az volt a furcsa, hogy ilyen alakja volt, hanem hogy ilyennek kellett lennie. Ez a megállapításunk pár hónapig az amerikai csillagászati körök egyik legolvasott megjegyzése volt. Az aszteroida időközben elhagyta a Naprendszert. Úgy voltam vele, hogy ha van egyszerű magyarázatunk, azt nem kell feltétlenül kidobni az ablakon.

A Gömböc is azt igazolta, hogy ha valamiről azt gondoljuk, nincs és nem fordulhat elő, az nem teljesen biztos.

Azért nem láthattunk ilyet eddig, mert a természetben nem alakulhatott ki. Márpedig az ember intuíciója, még a matematikusoké is, abból táplálkozik, amit lát. Ha nem látunk egy bizonyos formát, akkor azt hisszük, hogy nincs olyan. Szerencsére nem mindig van így. A tudomány világában kiélezett verseny zajlik, persze hogy van féltékenység és kisszerűség is. A Gömböc karrierjében Arnoldé a fő érdem, ő tette fel a kérdést, és ilyen kérdéseket nem szoktak odaadni ingyen. Ő mégis olyan magaslaton állt, hogy megtehette ezt. Ajándék volt tőle, látta rajtam, nem a különleges képességeimet, hanem az őszinte érdeklődésemet. Odaadta. Ha tudunk vele valamit kezdeni, próbáljuk meg. Nem ez a megszokott. Magyarországról nem könnyű a gyilkos versenyben érvényesülni. De a mi esetünk azt igazolja, hogy azért nem is lehetetlen.  (PP, Periszkóp Palotán, Rab László – Fotók: Nagy Botond/Csokonai Nonprofit Kft. A beszélgetés rövidebb, szerkesztett szövege elérhető lesz a TZN15 decemberi számában.)

*

Összefoglaló: